Teoría de Categorías

Christian Chávez
Universidad Yachay Tech 2023

Un poco de historia

Samuel Eilenberg (izquierda) y Saunders Mac Lane introducieron la teoría de la categoría a mediados del siglo XX, como parte de su trabajo en topología algebraica.

Samuel the Dog

¿De qué se trata la Teoría de Categorías?

Empecemos por lo que no es

  • No es una teoría para categorizar objetos matemáticos
  • No se limita al estudio de un solo tipo de estructura matemática
  • No es una teoría del todo

A breves rasgos, la teoría de categorías es...

  • una teoría matemática sobre estructura
  • un lenguaje para estudiar diferentes áreas de las matemáticas
  • "la matemática de las matemáticas" (Eugenia Cheng)

Motivación

Diferentes áreas tienen similitudes fundamentales

Teoría de Grupos


Topología


Álgebra Lineal



Antes que nada, necesitamos algunos conceptos preliminares

1

Los conjuntos no son suficientes

  • No toda colección de objetos que se puede describir con una propiedad es un conjunto
  • El problema es que tales descripciones pueden dar lugar a colecciones "muy grandes" para ser consideradas conjuntos

1

Los conjuntos no son suficientes

Definición. Una clase es una colección de objetos matemáticos, que se puede describir mediante una propiedad.

  • Todo conjunto es una clase, pero no al revés
  • Todo conjunto es elemento de algún otro conjunto, pero...
  • hay clases que no son elementos de ninguna otra clase

2

Terminología, notación y más terminología


  • Morfismo, mapa (mapping): una función, grosso modo
  • $\longrightarrow$ representa un morfismo
  • Objeto: cualquier cosa definida formalmente
  • $\bigcirc$ representa un objeto
  • Diagrama: representación visual de relaciones entre objetos por medio de flechas

2

Terminología, notación y más terminología


  • Un morfismo entre objetos $A$ y $B$: se denota $$ f : A \to B\qquad\text{o} \qquad A \xrightarrow{f} B $$

Ejemplo: un diagrama (conmutativo)


En la teoría de categorías, los diagramas conmutativos son análogos a las ecuaciones en álgebra.

Ahora sí!

Categorías

Categorías

Definición. Una categoría $\mathscr{C}$ consiste de $4$ partes y $2$ reglas:

  1. Una clase de objetos $\mathbf{ob}(\mathscr{C})$
  2. Una clase de morfismos $\mathbf{hom}(A, B)$ por cada par de objetos $A, B \in \mathbf{ob}(\mathscr{C})$
  3. Composición: por cada $A, B, C\in \mathbf{ob}(\mathscr{C})$, existe un morfismo $$ \begin{array}{ccc} \mathbf{hom}(B, C) \times \mathbf{hom}(A, B) &\to& \mathbf{hom}(A, C) \\ (g, f) &\mapsto& g \circ f \end{array} $$
  4. Una identidad $1_A \in \mathbf{hom}(A, A)$ por cada $A\in \mathbf{ob}(\mathscr{C})$

Categorías

Definición. Una categoría $\mathscr{C}$ consiste de $4$ partes y $2$ reglas:

  • Asociatividad: para todo $f\in \mathbf{hom}(A, B)$, $g\in \mathbf{hom}(B, C)$, y $h\in \mathbf{hom}(C, D)$ se cumple $$ (h\circ g) \circ f = h\circ (g\circ f) $$
  • Para todo $f\in \mathbf{hom}(A, B)$, se tiene $$ f\circ 1_A = f = 1_B \circ f $$

Categorías (en resumen)


  • Objetos
  • Morfismos
  • Composición
  • Identidades

  • La composición es asociativa
  • Propiedad de identidad

Ejemplos de Categorías

Ejemplos de Categorías

$\mathbf{Set}$

Ejemplos de Categorías

$\mathbf{Set}$

La categoría de todos los conjuntos

  • Objetos: conjuntos
  • Morfismos: funciones entre conjuntos
  • Composición: usual, $(f \circ g) (x) = f(g(x))$
  • Identidades: $1_A(x) = x, \forall x\in A$, por cada conjunto $A$

$\mathbf{Set}$

  • $\circ$ es asociativa: para todo $f\in \mathbf{hom}(A, B)$, $g\in \mathbf{hom}(B, C)$, y $h\in\mathbf{hom}(C, D)$, tenemos $$ \begin{align*} ((f\circ g) \circ h) (x) &= (f\circ g)(h(x))\\ &= f(g(h(x)))\\ &= f((g\circ h)(x))\\ &= (f\circ (g\circ h))(x) \end{align*} $$

$\mathbf{Set}$

  • Composición de identidades: si $f\in \mathbf{hom}(A,B),$ $$ \begin{align*} (f \circ 1_A) (x) &= f(1_A(x)) \\ &= f(x) \\ &= 1_B(f(x)) \\ &= (1_B \circ f) (x) \end{align*} $$

    • Ejemplos de Categorías

    $\mathbf{Grp}$

    La categoría de todos los grupos $(G, \cdot)$

    • Objetos: grupos
    • Morfismos: homomorfismos de grupos
    • Composición: usual, $(f \circ g) (x) = f(g(x))$
    • Identidades: $1_A(x) = x$, por cada conjunto $A$

    Ejemplos de Categorías

    $\mathbf{Top}$

    La categoría de todos los espacios topologicos $(X, \mathcal{T})$

    • Objetos: espacios topologicos
    • Morfismos: funciones continuas
    • Composición: usual, $(f \circ g) (x) = f(g(x))$
    • Identidades: $1_A(x) = x$, por cada conjunto $A$

    Ejemplos de Categorías

    $(\mathbb{R}, \leq)$

    Una categoría "del orden"

    • Objetos: números reales
    • Morfismos: un único $\varphi : x\to y$ t.q. $x\leq y$
    • Composición: $x\rightarrow{} y \rightarrow{} z$ da lugar $x\rightarrow{} z$ t.q. $x\leq z$
    • Identidades: $1_x = x$ para todo $x\in \mathbb{R}$. Claramente $x\leq x$
    • Las reglas de composición e identidades son inmediatas

    Morfismos especiales

    En una categoría $\mathscr{A}$, llamamos isomorfismo a cualquier morfismo $f: A\to B$, con $A,B\in \mathscr{A}$, tal que existe $g: B \to A$ y este diagrama conmuta, i.e.,

    • $1_A = g \circ f$, y
    • $ 1_B = f\circ g $.

    Escribimos $g= f^{-1}$

    Functores

    Functor

    • En teoría de categorías, siempre nos preguntamos por los mappings entre pares de objetos
    • Incluso si esos objetos son categorías
    • Un mapeo entre categorías se denomina functor

    Functor

    Definición. Sean $\mathscr{A}$ y $\mathscr{B}$ categorías. Un functor $F : \mathscr{A} \to \mathscr{B}$ consiste de dos objetos que satisfacen dos condiciones:

    • una función de objetos $\mathbf{ob}(\mathscr{A}) \to \mathbf{ob}(\mathscr{B})$, tal que $X\mapsto F(X)$
    • una función de morfismos $\mathbf{hom}(X, Y) \to \mathbf{hom}(F(X), F(Y))$

    • Se respeta la composición: $$F(f\circ g) = F(f)\circ F(g)$$ siempre que $X\xrightarrow{g} Y\xrightarrow{f} Z$ en $\mathscr{A}$
    • Se preservan las identidades: $F(1_A) = 1_{F(A)},\forall A\in \mathscr{A}$

    Ejemplos de Functores

    $\mathcal{I}: \mathscr{C} \to \mathscr{C}$

    El functor identidad


    • Envía cada objeto y cada morfismo a sí mismo

    Ejemplos de Functores

    $U: \mathbf{Grp} \to \mathbf{Set}$

    El functor que remueve la estructura


    • Si $G$ es un grupo, $U(G)$ es el conjunto del grupo, i.e., $ (G, \cdot) \mapsto G $
    • Si $\varphi : G \to H$ es un homomorfismo de grupos, $U(\varphi)$ es la función $\varphi$, i.e., $$ (G,\cdot) \xrightarrow{\varphi} (H, *) \quad\mapsto\quad G\xrightarrow{\varphi} H $$

    Transformaciones Naturales

    Mapas entre functores

    Transformaciones Naturales

    En un principio, la motivación para introducir categorías y functores fue formalizar esta idea

    Transformaciones Naturales

    La noción de morfismos entre functores solo tiene sentido cuando los functores tienen el mismo dominio y codominio.

    $$ \mathscr{A} \xrightarrow{F,\,G} \mathscr{B} $$

    Queremos "transformar" un functor en otro pero manteniendo la estructura interna (del dominio y codominio).

    Transformaciones Naturales

    Definición. Sean $\mathscr{A}, \mathscr{B}$ categorías y $F, G$ functores de $\mathscr{A}$ a $\mathscr{B}$. Una transformación natural $\alpha$ de $\mathscr{A}$ a $\mathscr{B}$ es una familia de morfismos $$\left( F(A)\xrightarrow{\alpha_A} G(A)\right)_{A\in \mathscr{A}}$$ en $\mathscr{B}$ tal que si $f: A \to A'$ es un morfismo en $\mathscr{A}$, entonces el siguiente diagrama conmuta:

    Transformaciones Naturales

    Transformaciones Naturales

    Observaciones

    • Esta definición se dió de tal manera que por cada $A\xrightarrow{f} A'$ en $\mathscr{A}$ se pueda contruir exactamente un morfismo $F(A) \to G(A')$ en $\mathscr{B}$.
    • Dicho morfismo es la diagonal del diagrama anterior

    Ejemplo

    $\left( 1_{F(A)}\right)_{A\in \mathscr{C}}$


    La identidad: una transformación natural de $F$ a sí mismo
    • para cualquier par de categorías $\mathscr{C}$ y $\mathscr{D}$
    • y cualquier functor $F$ de $\mathscr{C}$ a $\mathscr{D}$

    Ejemplo

    $\mathrm{\det}$

    • Sea \(\mathcal{G} \mathcal{L}_n\) el funtor de $\mathrm{CRing}$ a $\mathrm{Grp}$ tal que cada \(R\in \mathrm{CRing}\) se mapea por \(\mathcal{G} \mathcal{L}_n\) al grupo \(GL_n(R)\) de matrices invertibles \(n \times n\) con entradas de \(R\).
    • Para cada homomorfismo de anillos \(f: R \rightarrow S\), tenemos que \(\mathcal{G} \mathcal{L}_n(f)\) es el mapeo de matrices que aplica \(f\) a cada entrada de la matriz
    • Dado que \(f\) envía el elemento neutro 1 a 1, se sigue que \(\mathcal{G} \mathcal{L}_n(f)\) envía matrices invertibles a matrices invertibles

    Ejemplo

    $\mathrm{\det}$

    • Sea \(\mathcal{G}\) el funtor de $\mathrm{CRing}$ a $\mathrm{Grp}$ que mapea cada anillo \(R\) a su grupo de unidades \(R^{\times}\), y cada homomorfismo de anillos \(f\) a su restricción a los grupos de unidades (también denotado por \(f\)).
    • La determinante es una transformación natural de \(\mathcal{G} \mathcal{L}_n\) a \(\mathcal{G}\) porque la determinante está definida por el mismo polinomio para todos los anillos, de modo que el siguiente diagrama es conmutativo:

    Ejemplo

    $\mathrm{\det}$

    Aplicaciones de la Teoría de Categorías

    Aplicaciones de la Teoría de Categorías