Le théorème de
Sylvester–Gallai
Christian Chávez
Université de Sherbrooke
2026-09-29
Sylvester & Gallai
James Joseph Sylvester
1893 : pose le problème
Tibor Gallai
1944 : première preuve
Paul Erdős et « Le Livre »
« On n'est pas obligé de croire en Dieu, mais on devrait croire au Livre. »
: Paul Erdős
Première partie
La preuve de Kelly
Idée : regarder le point le plus proche d'une droite.
Détecteur de droites ordinaires
Parmi les cosuples $(P,\ell)$ avec $\ell$ connectrice et $P \notin \ell$, choisir $(P_0,\ell_0)$ de distance minimale.
Affirmation : $\ell_0$ est ordinaire.
Contradiction : $h < H$, alors que $H$ était la plus petite distance.
Deuxième partie
La preuve de Steenrod
Idée : transporter le problème du plan sur une sphère.
Un point devient un grand cercle
Traduction plan ↔ sphère
| Plan | Sphère |
|---|---|
| point $p \in \mathcal{P}$ | grand cercle |
| droite ordinaire | croisement de deux cercles |
| droite à $\ge 3$ points | croisement de $\ge 3$ cercles |
Des sommets, des arcs, c'est un graphe!
Leonhard La formule d'Euler
Leonhard La formule d'Euler
graphe planaire : qu'on peut dessiner sans que deux arêtes se croisent
faces : régions délimitées par le dessin, extérieure comprise
Du plan au ballon
Sur un ballon, l'extérieur devient une face comme les autres.
Euler aimait beaucoup les graphes. Voici une conséquence de sa formule :
simple : sans boucle ni arête multiple degré d'un sommet : nombre d'arêtes qui y aboutissent
Sur la sphère, les grands cercles $C_p$ $(p \in \mathcal{P})$ dessinent un graphe $G$ où
sommets : les croisements des cercles,
arêtes : les arcs de cercle entre deux croisements voisins.
Un croisement de $k$ cercles est de degré $2k$, donc tous les degrés sont pairs et $\ge 4$.
De la feuille à la sphère
$G$ est planaire (il est dessiné sur la sphère) et simple.
Par le théorème, $G$ a un sommet $v$ de degré $\le 5$.
Tous les degrés sont pairs et $\ge 4$, donc $\deg v = 4$.
Exactement deux cercles $C_p$ et $C_q$ passent par $v$, donc la droite $l$ qui passe par $p$ et $q$ ne contient que $p$ et $q$.
On conclut que $l$ est ordinaire.$\blacksquare$
Kelly : distance minimale (géométrie).
Steenrod : la formule d'Euler (topologie).